27.2 테일러 급수 이론

 본론으로 넘어가보죠, 이제부터 sin함수의 미분을 다른 방법으로 계산해보려 합니다. 바로 테일러 급수(Taylor Series)를 이용한 방법입니다. 테일러 급수란 어떤 함수를 다항식으로 근사하는 방법으로, 수식으로는 다음과 같습니다.

이것이 점 a에서 f(x)의 테일러 급수입니다. a는 임의의값이고, f(a)는 점 a에서 f(x)의 값입니다. 또한 f`는 1차 미분, f``는 2차 미분, f```는 3차 미분을 뜻합니다. 그리고 !기호는 계승(factorial)을 뜻하며 n!, 즉 n의 계승은 1에서 n까지 모든 정수의 곱을 말합니다. 예건대 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 이 됩니다.

2차 미분은 미분한 값을 한 번 더 미분한 것입니다. 물리 세계에서 예를 찾아보면 위치의 미분(변화)은 속도이면 소도의 미분(변화)은 가속도입니다. 이때 속도가 1차 미분이고 가속도가 2차 미분에 해당합니다.

테일러 급수에 의해 f(x)는 점 a를 기점으로 [식 27.1]로 나타낼 수 있습니다. [식 27.1]은 1차 미분, 2차 미분, 3차 미분, .. 식으로 항이 무한히 계속되지만, 어느 시점에서 중단하면 f(x)의 값을 근사할 수 있습니다. 물론 항이 많아질수록 근사의 정확도가 높아집니다.

한편  a = 0일 때의 테일러 급수를 매클로린 전개(Maclaurin's series)라고도 합니다. 실제로 [식 27.1]에 a = 0 을 대입하면 다음과 같이 됩니다.

    

[식 27.2]에서  a = 0으로 한정함으로써 더 간단한 수식이 되었습니다. 이제 f(x) = sin(x)를 [식 27.2]에 적용시켜 보겠습니다. 그러면 f`(x) = cos(x), f```(x) = -sin(x), f```(x) = -cos(x), f''''(x) = sin(x), ... 형태가 반복되는데, sin(0) = 0, cos(x) = 1이기 때문에 다음식을 이끌어낼 수 있습니다.

[식27.3]에서 보듯 sin함수는 x의 거듭제곱으로 이루어진 항들이 무산이 계속되는 형태로 표현됩니다. 여기서 중요한 점은 의 i가 커질수록 근사 정밀도가 좋아진다는 것이니다. 또한 i 가 커질수록 (-1)***i(x***(2i+1)) (2i + 1)의 절댓값은 작아지므로, 이 값을 참고하여 i의 값(반복횟수)을 적절히 결정할 수 있습니다.