미분이란 무엇일까요? 간단히 말하면 '변화율'을 뜻합니다. 예컨대 물체츼 시간에 따른 위치 변화율(위치의 미분)은 속도가 됩니다. 시간에 대한 속도 변화율(속도의 미분)은 가속도에 해당하죠. 이와 같이 미분은 변화율을 나타냅니다. 정확한 정의는 '극한으로 짧은 시간(순간)'에서의 변화량입니다. 수식으로 표현하면 f(x)라는 함수가 있을 때 미분은 다음 식으로 정의 됩니다.
f'(x) = lim (f(x + h) - f(x))/h h->0
[식 4.1]의 lim(h->0)은 극한을 나타내며, h가 한없이 0에 근접한다는 뜻입니다. 여기서 [식 4.1]의 (f(x + h) - f(x))/h는 [그림 4-1]과 같이 두 점을 지나는 직선의 기울기 입니다.
[그림 4-1]에서 보듯 x와 x + h라는 두 점에서 함수 f(x)의 변화 비율은 (f(x +h) - f(x))/h입니다.
여기서 폭 h를 한없이 0에 가깝게 줄여 x의 변화 비율을 구하면 그 값이 바로 y=f(x)의 미분입니다. 또한 y=f(x)가 어떤 구간에서 미분 가능하다면 [식 4.1]은 해당 구간의 '모든 x' 에서 성립합니다. 따라서 [식 4.1]의 f'(x)도 함수이며, f(x)의 도함수라고 합니다.
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