2.4.3 확률적 경사 하강법

 미분 가능한 함수가 주어지면 이론적으로 이 함수의 최솟값을 해석적으로 구할 수 있습니다. 함수의 최솟값은 변화율이 0인 지점입니다. 따라서 우리가 할 일은 변화율이 0이 되는 지점을 모두 찾고 이 중에서 어떤 포인트의 함수 값이 가장 작은지 확인하는 것입니다.

산경망에 적용하면 가장 작은 손실 함수의 값을 만드는 가중치의 조합을 해석적으로 찾는 것을 의미합니다. 이는 식 gradient(f)(W) = 0 을 풀면 해결됩니다. 이 식은 N개의 변수로 이루어진 다항식입니다. 여기에서 N은 네트워크의 가중치 개수입니다. N = 2나 N = 3인 식을 푸는 것은 가능하지만 실제 신경망에서는 파라미터의 개수가 수천 개보다 적은 경우가 거의 없고 종종 수천만개가 되기 때문에 해석적으로 해결하는 것이 어렵습니다.

그 대신 앞서 2.4절에서 설명한 알고리즘 네 단계를 사용할 수 있습니다. 랜덤한 배치 데이터에서 현재 손실 값을 토대로 하여 조금씩 파라미터를 수정하는 것입니다. 미분 가능한 함수를 가지고 있으므로 그래디언트를 계산하여 단계 4를 효율적으로 구현할 수 있습니다. 그래디언튿의 반대방향으로 가중치를 업데이트하면 손실이 매번 조금씩 감소할 것입니다.

1) 훈련 샘플 배치 X와 이에 상응하는 타깃 y를 추출합니다.

2) x로 네트워크를 실행하고 예측 y_pred를 구합니다.

3) 이 배치에서 y_pred와 y사이의 오차를 측정하여 네트워크의 손실을 계산합니다.

4) 네트워크의 파라미터에 대한 손실 함수의 그래디언트를 계산합니다(역방향 패스(backward pass)).

5) 그래디언트의 반대 방향으로 파라미터를 조금 이동시킵니다. 예를 들어 W -= step * gradient 처럼 하면 배치에 대한 손실이 조금 감소할 것입니다.

아주 쉽네요! 방금 전에 이야기한 것이 미니 배치 확률적 경사 하강법(mini-batch stochastic gradient descent)(미니 배치 SGD)입니다. 확률적(stochastic)이란 단어는 각 배치 데이터가 무작위로 선택된다는 의미입니다(확률적이란 것은 무작위(random)하다는 것의 과학적 표현입니다). 네트워크의 파라미터와 훈련 샘플이 하나일 때 이 과정을 나타냈습니다.

step값을 적절히 고르는 것이 중요합니다. 이 값이 너무 작으면 곡선을 따라 내려가는 데 너무 많은 반복이 필요하고 지역 최솟값(local minimum)에 갇힐 수 있습니다. step이 너무 크면 손실 함수 곡선에서 완전히 임의의 위치로 이동시킬 수 있습니다.

미니 배치 SGD알고리즘의 한 가지 변종은 반복마다 하나의 샘플과 하나의 타깃을 뽑는 것이다. 이것이 (미니 배치 SGD와 반대로) 진정한(true) SGD입니다. 다른 한편으로 극단적인 반대의 경우를 생각해 보면 가용한 모든 데이터를 사용하여 반복을 실행할 수 있습니다. 이를 배치 SGD (batch SGD)라고 합니다.더 정확하게 업데이트되지만 더 많은 비요이 듭니다 극단적인 두가지 방법이 효율적인 절충안은 적절한 크기의 미니 배치를 사용하는 것입니다.

그러럼 2-11은 1D파라미터 공간에서 경사 하강법을 설명하고 있지만 실제로는 매우 고차원 공간에서 경사 하강법을 사용하게 됩니다. 신경망에 있는 각각의 가중치 값은 이 공간에서 하나의 독립된 차원이고 수만 또는 수백만 개가 될 수도 있습니다. 손실 함수의 표면을 좀 더 쉽게 이해하기 위해 2D 손실 함수의 표면을 따라 진행하는 경사 하강법을 시각화해 볼 수 있습니다. 하지만 신경망이 훈련되는 실제 과정을 시각화하기는 어렵습니다. 사람이 이해할 수 있도록 1,000,000차원의 공간을 표현하는 것이 불가능하기 때문입니다. 그렇기 때문에 저차원 표현으로 얻는 직관이 실전과 항상 맞지는 않는다는 것을 유념해야 합니다. 이는 딥러닝 연구 분야에서 오랫동안 여러 이슈를 일으키는 근원이었습니다.

또 업데이트할 다음 가중치를 계산할 때 현재 그래디언트 값만 보지 않고 이전에 업데이트된 가중치를 여러 가지 다른 방식으로 고려하는 SGD 변종이 많습니다. 예를 들어 모멘텀을 사용한 SGD, Adagrad, RMSProp 등입니다. 이런 변종들을 모두 최적화 방법(optimization method)또는 옵티마이저라고 부릅니다. 특히 여러 변종들에서 사용하는 모멘텀(momentum)개념은 아주 중요합니다. 모멘텀은 SGD에 있는 2개의 문제점인 수렴 속도와 지역 최솟값을 해결합니다. 네트워크의 파라미터 하나에 대한 손실 값의 곡선을 보여 줍니다.

그림에서 볼 수 있듯이 어떤 파라민터 값에서는 지역 최솟값에 도달합니다. 그 지점 근처에서는 왼쪽으로 이동해도 손실이 증가하고, 오른쪽으로 이동해도 손실이 증가합니다. 대상 파라미터가 작은 학습률을 가진 SGD로 최적화 되었다면 최적화 과정이 전역 최솟값으로 향하지 못하고 지역 최솟값에 갇히게 될 것입니다.

물리학에서 영감을 얻는 모멘텀을 사용하여 이 문제를 피할 수 있습니다. 여기에서 최적화 과정을 손실 곡선 위로 작은 공을 굴리는 것으로 생각하면 쉽게 이해할 수 있습니다. 모멘텀이 충분하면 공이 골짜기에 갇히지 않고 전역 최솟값에 도달할 것입니다. 모멘텀은 현재 기울기 값(현재 가속도)뿐만 아니라 (과거의 가속도로 인한) 현재 속도를 함깨 고려하여 각 단계에서 공을 움직입니다. 실전에 적용할 때는 현재 그래디언트 값뿐만 아니라 이전에 업데이트한 파라미터에 기초하여 파라미터 w를 업데이트합니다. 다음은 단순한 구현 예입니다.

past_velocity = 0.

momentum = 0.1................모멘텀 상수

while loss > 0.01: ........................... 최적화 반복 루프

    w, loss, gradient = get_current_parameters()

    velocity = momentum * past_velocity - learning_Rate *( gradient

    w = w + mementum * velocity - learning_rate * gradient

    past_velocity = velocity

    update_parameter(w)